Сугубо дилетантски: это такой старый, большой и сложновывернутый спор - а где, собственно, существуют математические объекты, и применима ли к их существованию натуралистическая онтология имени Ф.Бэкона со товарищи. Насколько я понимаю, сейчас общепринятая точка зрения состоит в том, что они не существуют нигде, кроме формальной системы, в которой они определены. Т.е., например, при применении к реальному пространству двух различных математических систем с по-разному определенным понятием "точка" мы будем иметь на одном реально месте две предположительно разные точки - до тех пор, пока мы не задали привязку до той степени, чтобы формально проверить соответствие. (Любовь моя вот придет - поправит, если вру). Что до твоей лекции - весьма ценна как краткое изложение, и я ее в этом качестве уже пользовал, посылая туда народ. Развернуто у Гарднера, конечно, лучше.
"Насколько я понимаю, сейчас общепринятая точка зрения состоит в том, что они не существуют нигде, кроме формальной системы, в которой они определены." - ну да, вроде бы, все так. "Т.е., например, при применении к реальному пространству двух различных математических систем с по-разному определенным понятием "точка" мы будем иметь на одном реально месте две предположительно разные точки" - где это "одно место"? :-) ИМХО мы будем иметь одну точку (раз уж мы выделяем некоторое пространство как реальное), которая может быть описана двумя различными способами :-)
"Насколько я понимаю, сейчас общепринятая точка зрения состоит в том, что они не существуют нигде, кроме формальной системы, в которой они определены." -- полностью согласен. Математика изучает только системы аксиоматики, и это гораздо более чем простое ИМХО.
"при применении к реальному пространству двух различных математических систем с по-разному определенным понятием "точка" мы будем иметь на одном реально месте две предположительно разные точки" -- а это неправда. :-) Именно в силу предыдущего абзаца. Реальное пространство -- это не объект изучения математики. Когда ее применяют к изучению мира, это присходит ровно так: -физика на основании экспериментов создает некую аксиоматическую систему. -действую в рамках созданной аксиоматики математики начинают свой творческий процесс. По ходу дела зачастую появляются интересные, нетривиальные с повседневной точки зрения утверждения о новой _математической_ системе, и тогда физики проверяют, а так ли это на самом деле. Пока утверждения математики подтверждаются, "ведущую роль" играет именно математика. Но так уж было до сих пор, что рано или поздно появлялись новые эффекты, которые не ложились в рамки существующей системы аксиом, или же наоборот, какие-то данные не подтверждались. В такой ситуации начинается фантазирование, корректировка системы аксиом, и тут уже ведущую роль играют физика, мифология и поэзия :-)
Соответственно когда мы применяем сразу две математические системы к одному и тому же явлению (или "месту"), мы действительно имеем "две разные точки" - но ровно в том же смысле, в котором, например, два историка могут говорить о двух различных способах мотивации Юлия Цезаря, или же, например, в двух различных художественных проихведениях могут совершенно по-разному изображаться одни и те же исторические персонажи. Двоится не сам объект, а наш взгляд на него. Ведь сложно найти человека, который начитавшись барона Корфу станет утверждать, что Пушкиных было два! :-)
Конечно, такии аксиоматики существуют! Аудьярт привела одну из них. Могу предложить аналогичную: берем любую из используемых систем аксиом, описывающих геометрию (например, TF6), заменяем везде слово "точка" на слово "черпак", после чего добавляем определение "точка это ровно то, что является черпаком". :) Вот здесь можно найти художественную литературу по этому поводу:
Горячо рекомендую почитать главу "Столы, стулья и пивные кружки" и смежные с ней. И вообще книжка хорошая. Да и сайт ничего. :-)
А еще - например, в Алгебраической геометрии принято называть точкой всякий простой идеал (и только простой идеал). Так что система аксиом алГема дает пример совершенно естественной аксиоматики, где понятие точки непервично. :-)
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png)
timeasmymeasure
Мур!
Date: 2004-09-25 04:24 pm (UTC)(Любовь моя вот придет - поправит, если вру).
Что до твоей лекции - весьма ценна как краткое изложение, и я ее в этом качестве уже пользовал, посылая туда народ. Развернуто у Гарднера, конечно, лучше.
Re: Мур!
Date: 2004-09-26 01:46 pm (UTC)Респект :)
Date: 2004-10-04 01:33 pm (UTC)Забавно, но точки зрения совпали.
Re: Мур!
Date: 2004-10-04 01:32 pm (UTC)"Насколько я понимаю, сейчас общепринятая точка зрения состоит в том, что они не существуют нигде, кроме формальной системы, в которой они определены."
-- полностью согласен. Математика изучает только системы аксиоматики, и это гораздо более чем простое ИМХО.
"при применении к реальному пространству двух различных математических систем с по-разному определенным понятием "точка" мы будем иметь на одном реально месте две предположительно разные точки"
-- а это неправда. :-) Именно в силу предыдущего абзаца. Реальное пространство -- это не объект изучения математики. Когда ее применяют к изучению мира, это присходит ровно так:
-физика на основании экспериментов создает некую аксиоматическую систему.
-действую в рамках созданной аксиоматики математики начинают свой творческий процесс. По ходу дела зачастую появляются интересные, нетривиальные с повседневной точки зрения утверждения о новой _математической_ системе, и тогда физики проверяют, а так ли это на самом деле. Пока утверждения математики подтверждаются, "ведущую роль" играет именно математика. Но так уж было до сих пор, что рано или поздно появлялись новые эффекты, которые не ложились в рамки существующей системы аксиом, или же наоборот, какие-то данные не подтверждались. В такой ситуации начинается фантазирование, корректировка системы аксиом, и тут уже ведущую роль играют физика, мифология и поэзия :-)
Соответственно когда мы применяем сразу две математические системы к одному и тому же явлению (или "месту"), мы действительно имеем "две разные точки" - но ровно в том же смысле, в котором, например, два историка могут говорить о двух различных способах мотивации Юлия Цезаря, или же, например, в двух различных художественных проихведениях могут совершенно по-разному изображаться одни и те же исторические персонажи. Двоится не сам объект, а наш взгляд на него. Ведь сложно найти человека, который начитавшись барона Корфу станет утверждать, что Пушкиных было два! :-)
no subject
Date: 2004-10-04 01:15 pm (UTC)Вот здесь можно найти художественную литературу по этому поводу:
http://ega-math.narod.ru/Reid/book.htm
Горячо рекомендую почитать главу "Столы, стулья и пивные кружки" и смежные с ней. И вообще книжка хорошая. Да и сайт ничего. :-)
А еще - например, в Алгебраической геометрии принято называть точкой всякий простой идеал (и только простой идеал). Так что система аксиом алГема дает пример совершенно естественной аксиоматики, где понятие точки непервично. :-)